La scala cromatica di Armodue è composta da sedici note e l’intervallo più piccolo che esista in Armodue è detto eka ed equivale a 75 cents: vi è un eka per esempio tra le note 1 e 1#. Essa si presta in modo particolare a partizioni simmetriche. Infatti poiché sedici è un quadrato perfetto oltre che la quarta potenza di due è possibile suddividere la decima (l’equivalente dell’ottava in Armodue) in due, quattro, otto parti uguali secondo schemi caratterizzati da un’alta simmetria di composizione interna. 
Data la scala cromatica:
1# 2 2# 3 3# 4 5 5# 6 6# 7 7# 8 8# 9 (1)
si ottengono le seguenti scale equalizzate (con uguale distanza tra gradi consecutivi):
1) di quattro note: [1, 3, 5#, 7#]; [1#, 3#, 6, 8]; [2, 4, 6#, 8#]; [2#, 5, 7, 9]. Va rilevato che tali successioni di quattro suoni nel sistema dodecafonico – prese singolarmente – si configurano come accordi di settima diminuita (tre semitoni di distanza tra una voce e l’altra), a causa delle frequenze equivalenti;
2) di otto note: [1, 2, 3, 4, 5#, 6#, 7#, 8#]; [1#, 2#, 3#, 5, 6, 7, 8, 9].

Di particolare interesse sono tali due scale ottafoniche equalizzate, aventi non poche analogie con le due scale esatonali (equalizzate) esistenti nel sistema dodecatonico.
Nell’ambito delle scale equalizzate difatti la scala esatonale – o per toni interi – del sistema dodecatonico divide l’ottava in sei parti uguali (sei gradi tutti distanziati di un tono) mentre la scala ottafonica di Armodue divide la decima in otto parti uguali (otto gradi tutti distanziati di due eka = 2 x 75 = 150 cents).
Riguardo alla tastiera, le scale considerate inerenti ai due sistemi sono entrambe caratterizzate da una successione ordinata di tasti bianchi e neri.

Scale simmetriche di vario tipo e di un numero di suoni diversificabile si ottengono configurando un modulo di base e riportandolo più volte sia nell’ambito di una decima così come esulando dalla decima.
Il tipo di scala analogo alla cosiddetta scala "diminuita" del sistema dodecatonico - ottenuta con l’alternanza di un semitono e di un tono - si ottiene in Armodue con l’alternanza di un eka e di due eka, ovvero distanziando alternativamente i gradi di 75 e 150 cents.

Per un raffronto:

do re re# fa fa# sol# la si do tipo tono-semitono nel sistema dodecatonico

1 2 2# 3# 4 5# 6 7 7# 8# 9 (1)

tipo due eka –un eka nel sistema Armodue

do do# re# mi fa# sol la la# do

tipo semitono-tono nel sistema dodecatonico

1 1# 2# 3 4 5 6 6# 7# 8 9 (1)

tipo un eka – due eka nel sistema Armodue

Una scala di sette note e con i gradi più distanziati si ottiene alternando tre eka e due eka:

Altre scale simmetriche si ottengono con diverse configurazioni degli intervalli tra i gradi. Si può formare una scala di sei note semplicemente distanziando ogni grado dall’altro di tre eka (225 cents):

Alternando un eka e tre eka tra un grado e il successivo, si forma una scala di sette note come la seguente:

Con un modulo del tipo: due eka – un eka – tre eka riportato più volte di seguito si ottiene la scala di nove note:

Questa stessa scala però, interrotta con la ripetizione della nota "2#", può generare note diverse se si riporta anche oltre l’intervallo di decima il modulo stesso (due eka – un eka – tre eka) già presente tre volte nell’ambito della prima decima:

La scala descritta abbraccia l’ambito di quattro decime e comprende ben trentadue note; se si continuasse oltre, si avrebbe la semplice ripetizione di note nello stesso ordine.
Scale simili di più di una decima di ambito sono evidentemente di non facile utilizzo, tuttavia potrebbero rivelarsi efficaci in funzione di determinate tecniche compositive (come il contrappunto di scale per moto contrario, le scale speculari, ecc.).
Come regola generale, è bene evitare di costruire scale con gradi consecutivi separati da più di quattro eka (4 eka = tre semitoni), fatta eccezione per scale artificiali di un ridotto numero di gradi (come le scale di cinque o sei suoni).
Una distanza superiore a quattro eka crea infatti una discontinuità nella successione dei gradi della scala e limita fortemente il numero di note della scala stessa.
Occorre poi usare solo a ragion veduta scale nelle quali vi siano due o più intervalli di un eka adiacenti, nell’ambito di una successione di due o più gradi consecutivi.
La scala seguente ad esempio è composta da una successione di gradi tale che risulta presente due volte di seguito la distanza minima di un eka:

Infatti vi sono due salti di un eka adiacenti che distanziano le tre note consecutive: 3, 3#,4; una simile scala acquista inevitabilmente una qualità cromatica e gli accordi costruiti utilizzando le note che la compongono possono risultare molto dissonanti (a causa delle frequenze molto vicine delle note in causa 3, 3#,4).
Per ottenere scale simmetriche che non generino nuove note nelle decime superiori occorre configurare il modulo intervallare in funzione della divisione della decima in parti uguali (cioè in due, quattro oppure otto parti).
Dividendo la decima in quattro parti uguali si ottengono le partizioni di note (A,B,C,D):

A: 1 - 2# (quattro eka); B: 3 – 5 (quattro eka); C: 5# - 7 (quattro eka); D: 7# - 9 (quattro eka).

E’ possibile organizzare in diversi modi i quattro eka complessivi che costituiscono ogni partizione, ottenendo diverse scale simmetriche.
Ad esempio con la successione di base un eka – tra eka (totale: quattro eka) applicata alle quattro partizioni della decima (A,B,C,D) si ottiene la scala di otto note:

Tale scala si ripeterebbe identica se si continuasse a riportare il modulo: un eka – tre eka nella decima superiore. Ugualmente con il modulo tre eka – un eka si otterrebbe la scala simile alla precedente:

Scale di questo tipo hanno la peculiare proprietà di riprodursi identiche effettuando determinate trasposizioni (spostamenti verso l’acuto o il basso di un costante numero di eka); sotto questo aspetto risultano analoghe ai Modes à transpositions limitées (Modi con limitata possibilità di trasposizione) di Olivier Messiaen.

Si possono creare scale simmetriche anche mediante suddivisioni di un ambito di note minore o maggiore della decima.Soltanto considerando l’ambito delle quindici note comprese tra 1 e 8#, minore della decima 1-1, si possono fare varie partizioni secondo i numeri divisori di quindici: tre e cinque.
Dividendo così in tre parti uguali l’ambito 1 – 8# si ha:

Ognuna delle tre partizioni elencate è composta da quattro eka. Sono possibili varie formazioni di scale in funzione di queste tre partizioni. Una per esempio è la formazione del tipo: due eka – due eka – un eka:

Tale scala inoltre può generare una complessa molteplicità di note se non ci si limita all’ambito delle note 1 – 8#, bensì si continua a effettuare le stesse partizioni con gli ambiti di quindici note successivi al primo: 1 – 8#, 8# - 7#; 7# - 6#; 6# - 5# ecc.

La scala in esame, ritornando al singolo ambito delle note 1 – 8# per semplicità, può essere composta da nove note (da 1 a 8#) oppure da dieci note (da 1 a 9); nel secondo caso la nota 9 viene aggiunta arbitrariamente con due finalità: aumentare la continuità della successione dei gradi (evitando il salto 8# - 1 della decima superiore) e introdurre la funzione di sensibile (la sensibile nel sistema dodecatonico è una nota della scala posta un semitono sotto la tonica – il primo grado; tale nota ha un ruolo di spinta o attrazione verso il primo grado della scala. Del tutto analogamente, in Armodue la nota 9 acquista funzione di sensibile – attrazione verso la successiva nota 1 della decima superiore – distando appena un eka – inferiore ad un semitono – dalla tonica).
In qualsiasi scala si può introdurre, in qualità di nota aggiuntiva, la nota sensibile: la nota situata un eka sotto la tonica, ovvero situata un eka sotto il primo grado della scala. In qualsiasi scala è possibile altresì innalzare l’ultimo grado in modo che abbia funzione di sensibile.

Come criterio generale nella costruzione di scale si terrà presente che i piccoli intervalli tra gradi consecutivi (l’intervallo di un eka in primo luogo e, blandamente, l’intervallo di due eka) conferiscono attrazione reciproca tra i gradi così ravvicinati e aumentano il senso di movimento ed il dinamismo della scala; al contrario, una scala priva di intervalli piccoli tra gradi consecutivi (tutti gli intervalli che separano i gradi nella loro successione risultano maggiori di due eka) risulta piuttosto statica e non instaura alcun senso di movimento o di spinta verso gradi determinati: ogni grado tende a rimanere sospeso, gravitando solo su se stesso.
Si pensi a tal proposito alle scale pentatoniche ed esatonali utilizzate da Claude Debussy: tali scale si classificano nel sistema dodecatonico come scale anemitoniche (prive di semitoni) e sono caratterizzate da una sonorità vaga, leggera, fluttuante. Il parallelo di scale come queste in Armodue è costituito dalle scale prive di intervalli piccoli, di uno o di due eka, tra gradi consecutivi.
La costruzione meccanica-algebrica delle scale simmetriche in Armodue non deve indurre a ritenere che tutta la musica creata con tali scale sia altrettanto matematica, "squadrata", fredda: è possibile infatti impiegare in modo libero, svincolato da ogni schema, qualsiasi tipo di scala simmetrica o meno; così come all’estremo opposto è possibile programmare un computer per comporre musica automaticamente mediante algoritmi e formule algebriche. Tutto dipende naturalmente dall’intento del compositore, dai criteri stilistici e dalle tecniche adottate.
I musicisti con spiccate tendenze matematiche potranno trovare una preziosa fonte di risorse - per creare in Armodue scale, serie, accordi, melodie, sequenze varie di intervalli in funzione di una simmetria interna estrinseca o intrinseca - nel particolare schema numerico (quadrato magico "perfetto") che dispone i numeri da uno a sedici in modo tale da dare sempre la stessa somma per ogni riga, colonna, diagonale, mezze diagonali, "quadratino" di 2x2 caselle, "rettangolo" di 2x4 caselle ecc. (lo schema numerico sotto riportato è basato sul quadrato magico scoperto dalla matematica inglese 86enne Kathleen Ollerenshaw e citato nella rivista "Focus" di ottobre 1999):

01 15 04 14
08 10 05 11
13 03 16 02
12 06 09 07

Una decima può essere concepita come divisa in due sezioni: una sezione inferiore ed una superiore. La decima 1-1 per esempio è divisa esattamente a metà dalla nota 5#; la sezione inferiore dunque abbraccia diverse note a condizione che siano tutte comprese tra 1 e 5#, la sezione superiore include invece varie note scelte tra tutte quelle comprese tra 5# e 1. A priori di questa suddivisione in due parti della decima, ambedue le sezioni possono prevedere da un minimo di due suoni (bicordi) ad un massimo di otto suoni (ottacordi); la normalità è però data da una sezione di tre note

(tricordo), quattro note (tetracordo) o cinque note (pentacordo). Una digressione riguardante le scale diatoniche del sistema già esistente si rivela indispensabile. L’ottava standard do – do viene scansionata, secondo la scala maggiore, in due tetracordi separati da un tono ed ambedue aventi un semitono in ultima posizione:

Nel primo tetracordo – tetracordo inferiore - do-re-mi-fa il semitono (*) è tra le note mi-fa, in ultima posizione dopo i due toni consecutivi do-re e re-mi; analogamente nel secondo tetracordo – tetracordo superiore – sol-la-si-do il semitono è in ultima posizione tra le note si-do dopo i due toni consecutivi sol-la e la-si. L’ordine interno o regolarità della scala maggiore è data dalla ripetizione dello stesso modulo intervallare nei due tetracordi: tono, tono, semitono. Il tono di separazione tra il fa e il sol è l’intervallo disgiuntivo che separa il tetracordo inferiore dal superiore. L’ottava do-do viene divisa in due parti uguali dalla nota fa#; si noti che il fa ed il sol che delimitano i due tetracordi sono equidistanti dal fa# (un semitono sotto e sopra tale nota). Ogni tetracordo è racchiuso nell’ambito di cinque semitoni (una quarta perfetta): do-fa e sol-do. La collocazione del semitono in ultima posizione crea una forte attrazione reciproca nelle coppie di note mi-fa e si-do. Eseguendo la scala maggiore nella sua forma ascendente si percepisce nettamente la spinta verso le due note-cardine fa e do; il secondo tetracordo sol-la-si-do appare come un riflesso, una ripetizione più acuta, del primo tetracordo do-re-mi-fa. Le due note fa e do giocano qui un ruolo di grado conclusivo, hanno una funzione di compimento tra le sette note complessive della scala che si susseguono dalla più bassa alla più acuta. Non a caso dunque le scale nella tradizione occidentale sono concepite nel senso ascendente: esse tendono a collocare il semitono in ultima posizione nei tetracordi. Si considerino per contrapposizione le antiche scale greche concepite nel senso discendente: l’armonia dorica mi-re-do-si-la-sol-fa-mi considerata dai greci il modello perfetto di scala è composta dai due modi (i tetracordi della antica teoria musicale greca) mi-re-do-si e la-sol-fa-mi. Tali tetracordi hanno il semitono in ultima posizione nel senso discendente (do-si e fa-mi) in maniera del tutto parallela ai due tetracordi do-re-mi-fa e sol-la-si-do della scala maggiore nei quali il semitono è in ultima posizione – nel senso ascendente. Operando in Armodue con criteri analoghi, è possibile costruire due tetracordi con un gruppo di note comprese tra 1 e 5 ed un gruppo di note comprese tra 6 e 1 (le note 5 e 6 sono le più vicine alla nota mediana della decima 1-1: la nota 5#). Una delle formazioni possibili è: tre eka – due eka – due eka. Con questa formazione intervallare i due tetracordi sono:

I due tetracordi sono disgiunti da un salto di due eka (tra 5 e 6). La scala risultante, di sette note, è dotata di un blando dinamismo (i quattro intervalli di due eka in essa presenti sono relativamente piccoli: due eka valgono 150 cents ovvero tre quarti di tono) ma tutto sommato risulta equilibrata e priva di forti spinte verso note determinate (i due intervalli piccoli – di due eka – essendo consecutivi si controbilanciano). Una diversa formazione dei tetracordi: tre eka – tre eka – un eka è invece dotata di forte propulsione:

La spinta è naturalmente in direzione delle note 5 e 1 – nel senso ascendente – poiché vi è un solo eka tra le note 4-5 e 9-1.

Si possono creare moltissime scale diverse generando vari tricordi, tetracordi, pentacordi in Armodue; l’unico vero limite qui sarà la fantasia del compositore. Si possono costruire scale con una sezione inferiore diversa dalla sezione superiore, per esempio composte da due tetracordi di diversa configurazione intervallare:

In una scala come questa il tetracordo superiore è speculare a quello inferiore; nel primo tetracordo infatti, 1 3 4 5, si ha la configurazione: quattro eka - due eka - un eka mentre nel secondo tetracordo 6 6# 7# 1 si ha l’inversione degli intervalli del primo: un eka – due eka – quattro eka. Una scala come la seguente invece è strutturata mediante l’unione di un pentacordo e di un tricordo:

Risultano evidenti il pentacordo 1 2 3 4 5 ed il tricordo 6 8 1. Con esiti più complessi si possono delimitare sezioni o ambiti diversi dalla decima 1 – 1 e dalle mezze decime 1-5 e 6-1. Si suddivida l’ambito delle diciotto note - quindi maggiore della decima – comprese tra la nota 1 e la nota 1# della decima superiore nelle tre sezioni: 1 – 3#; 4 – 7; 7# - 1#. Ogni sezione può strutturarsi come un tricordo o un tetracordo, e le tre sezioni possono avere struttura uguale o diversa. Per dare un idea di una delle numerosissime scale risultanti possibili, ecco come si possono configurare tali tre sezioni secondo tre tricordi uguali del tipo: tre eka – due eka:

La tecnica di creazione di scale più semplice e più importante prevede tuttavia la preliminare divisione della decima in due parti uguali (due sezioni di otto note ciascuna), divisione di cui più sopra si è trattato. Dividendo la decima 1 – 1 in parti uguali, nelle due sezioni 1-5 e 6-1, si possono creare le scale seguenti:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (tipo pentacordo: 2 eka – 2 eka – 2 eka – 1 eka)

1 2 3 3# 5 6 7 8 8# 1 (tipo pentacordo: 2 eka – 2 eka – 1 eka – 2 eka)

1 2 2# 3# 5 6 7 7# 8# 1 (tipo pentacordo: 2 eka – 1 eka – 2 eka – 2 eka)

1 1# 2# 3# 5 6 6# 7# 8# 1 (tipo pentacordo: 1 eka – 2 eka – 2 eka – 2 eka)

Come si constata, l’intervallo più piccolo (un eka) passa ordinatamente dalla ultima alla prima posizione nei pentacordi procedendo da una scala all’altra. I pentacordi ottenuti possono essere congiunti o disgiunti; due pentacordi disgiunti non hanno note in comune, due pentacordi congiunti condividono una nota. Analogo discorso vale per i tricordi, tetracordi ecc. che possono anch’essi essere congiunti o disgiunti. Le ultime quattro scale riportate sono formate da due pentacordi disgiunti (l’intervallo disgiuntivo, di due eka, è sempre tra le note 5 e 6); quattro scale diverse si ottengono con gli stessi pentacordi ma congiunti (aventi in comune la nota 5):

1 2 3 4 5 - 5 6 7 8 8# (1)

1 2 3 3# 5 – 5 6 7 7# 8# (1)

1 2 2# 3# 5 – 5 6 6# 7# 8# (1)

1 1# 2# 3# 5 – 5 5# 6# 7# 8# (1)

Utilizzando tetracordi disgiunti, le due sezioni di note 1-5 e 6-1 si configurano:

1 2# 3# 5 6 7# 8# 1 (tipo tetracordo: 3 eka – 2 eka – 2 eka)

1 2 3# 5 6 7 8# 1 (tipo tetracordo: 2 eka – 3 eka – 2 eka)

1 2 3 5 6 7 8 1 (tipo tetracordo: 2 eka – 2 eka – 3 eka)

Le tre scale affini ma con tetracordi congiunti divengono nell’ordine:

1 2# 3# 5 5 6# 7# 8# 1

1 2 3# 5 5 6 7# 8# 1

1 2 3 5 5 6 7 8# 1

Gli esempi illustrati basteranno ad esplicitare le varie tecniche di creazione di scale secondo il criterio della formazione di tricordi, tetracordi ecc. congiunti o disgiunti.

E’ possibile creare una scala mediante un processo ciclico nel quale si trovano nuove note mediante la progressiva addizione di uno stesso intervallo a partire da una nota iniziale. Per rendere l’idea della tecnica, nel sistema dodecatonico la scala eptafonica diatonica corrispondente al modo maggiore è ottenuta con una progressione di quinte perfette (intervalli di sette semitoni= 7 sT); la scala modello di Do maggiore si ottiene addizionando in modo progressivo sei quinte perfette a iniziare dal fa e riordinando nell’ambito di un’ottava tutte le note trovate:

fa (+7sT) do (+7sT) sol (+7sT) re (+7sT) la (+7sT) mi (+7sT) si (+7sT)=

Tale scala corrisponde alla successione dei tasti bianchi di una tastiera.

In Armodue del tutto analogamente la scala enneafonica diatonica si ottiene addizionando in modo progressivo l’intervallo di 9 eka e riordinando le note così trovate in un’unica decima:

1 (+9eka) 6 (+9eka) 2 (+9eka) 7 (+9eka) 3 (+9eka) 8 (+9eka) 4 (+9eka) 9 = per riordinamento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1)

La scala riportata corrisponde nella tastiera Armodue ai nove tasti bianchi e viene denominata scala diatonica modello. Per estensione, qualunque scala – in Armodue – formata da note tutte di differente numerazione si definisce diatonica (così come nel sistema dodecatonico si definisce diatonica una scala formata da note tutte di diverso nome). Sono così classificate come diatoniche le seguenti scale, a titolo di esempio:

1 2 3# 4 5 6# 7# 8 9 (1)

4 5 6# 7# 8 9 1# (2)

6 8 9 1# 3# (5)

Non sono invece diatoniche scale come le seguenti, nelle quali è presente due volte uno stesso numero con funzione di notazione:

1 1# 3 6 7 (1) poiché la nota "1" è presente due volte in 1 e 1#;

4 5 5# 6 7 8 8# 9 1 2 (3) poiché le note "5" e "8" compaiono due volte

rispettivamente in 5 e 5# e 8 e 8#.

La scala ottafonica equalizzata è ottenuta anche per addizione progressiva di 6 eka:

1 (+6 eka) 4 (+6 eka) 7# (+6eka) 2 (+6eka) 5# (+6 eka) 8# (+6 eka) 3 (+6 eka) 6# (+6 eka) 1 = per riordinamento 1 2 3 4 5# 6# 7# 8# 8 (1)

Se invece di addizionare un unico intervallo si addizionano in modo alterno (algoritmo) due o più intervalli si ottengono scale ancora diverse. La scala seguente è ottenuta per addizioni alterne di 9 eka e 3 eka:

1 (+9) 6 (+3) 7# (+9) 3# (+3) 5# (+9) 1# (+3) 3 (+9) 8 (+3) 1 = per riordinamento 1 1# 3 3# 5# 6 7# 8 (1)

Quest’ultima scala si rivela essere la scala simmetrica del tipo 1 eka – 3 eka, della quale si è già trattato precedentemente.

Una scala di dieci note è ottenuta per aggiunte alterne di 8 eka, 1 eka e 2 eka (algoritmo = + 8 / +1 / +2):

1 (+8) 5# (+1) 6 (+2) 7 (+8) 2# (+1) 3 (+2) 4 (+8) 8# (+ 1) 9 (+2) 1# (+8) 6 = per riordinamento 1 1# 2# 3 4 5# 6 7 8# 9 (1).

L’ultima scala esposta, ottenuta con l’algoritmo +8 / +1 / +2, è generata da una progressione di note che si conclude con la ripetizione della nota "6". E’ possibile modificare l’algoritmo di una scala per generare scale diverse. L’algoritmo dell’esempio di prima +8 / +1 / +2 potrebbe divenire per raccorciamento di un eka dei tre intervalli l’algoritmo +7 / 0 / + 1 cioè semplicemente +7 / +1 e per ampliamento di un eka degli intervalli dati +9 / + 2 / +3. Un algoritmo originale può essere variato con qualsiasi operazione algebrica o combinatoria: modificando gli intervalli che lo compongono mediante addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, permutazioni ecc. Algoritmi diversi generano solitamente scale diverse.
Gli intervalli che compongono un algoritmo che genera una scala saranno adoperati più frequentemente – sia a livello armonico che melodico - in una composizione che adotti tale scala, per mettere in risalto l’origine e la formazione della scala stessa.
La verità di questa affermazione è provata dall’importanza che ha il ciclo delle quinte nel sistema della musica occidentale. La scala diatonica maggiore do re mi fa sol la si do ottenuta con addizioni cicliche di intervalli di quinta (vedi sopra) nella musica occidentale è il materiale di base di composizioni basate su movimenti di quinta delle fondamentali, attrazioni di quinta tonica-dominante, accordi – triadi – di terza e quinta, modulazioni secondo il circolo delle quinte, tonicizzazioni e quant’altro sia fondato sull’intervallo che genera la scala diatonica: l’intervallo di quinta. In Armodue, la scala di dieci note dell’esempio precedente generata dall’algoritmo +8 / +1 / + 2 dovrà essere impiegata per composizioni nelle quali gli accordi siano caratterizzati in prevalenza dagli intervalli di uno, due e otto eka; le relazioni melodiche e delle fondamentali degli accordi di tali composizioni si presenteranno in funzione agli stessi tre intervalli di uno, due e otto eka. Con tali requisiti, l’ascoltatore percepirà la coerenza interna del sistema scalare nella composizione; in caso contrario, l’algoritmo in una scala non sarà altro che un arido, insignificante calcolo algebrico.

La scala ottafonica equalizzata, formata da otto gradi equidistanti (tutti separati l’uno dall’altro di due eka) può costituire una scala matrice dalla quale derivare, mediante tecniche variazionali, nuove scale di otto suoni. In Armodue sono possibili solo due scale ottafoniche equalizzate:

1, 2, 3, 4, 5#, 6#, 7#, 8#

1#, 2#, 3#, 5, 6, 7, 8, 9

E’ sufficiente abbassare e/o innalzare di un eka uno o più gradi di tale scala equalizzata per ottenere nuove scale. Viene scelta come standard la scala: 1, 2, 3, 4, 5#,6#,7#,8# indicata dal modulo [0,0,0,0,0,0,0,0]. La serie di otto zeri sta a significare nessuna variazione degli otto gradi della scala di base. Abbassando di un eka il terzo grado della scala di base si ottiene la nuova scala:

1, 2, 2#, 4, 5#, 6#, 7#, 8# indicata dal modulo [0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 0]

L’allocazione di "-1" al terzo posto nel modulo indica l’abbassamento di un eka subito dal terzo grado della scala di base.

Alzando il secondo e quarto grado della scala di base ed abbassando il settimo grado si ottiene la scala:

1, 2#, 3, 5, 5#, 6#, 7, 8# indicata dal modulo [0, +1, 0, +1, 0, 0, -1, 0]

L’allocazione di "+1" al secondo e quarto posto indica l’innalzamento di un eka applicato ai gradi stessi secondo e quarto; "-1" al settimo posto indica che il settimo grado è abbassato di un eka.

Ad esempio il modulo [0, +1, -1, 0, 0, 0, 0, 0] è impraticabile in quanto il secondo e terzo grado verrebbero a coincidere con una stessa nota – nel caso specifico 2# - con il risultato di una scala di sette note invece che otto.

Per convenzione, il primo grado è invariabile perciò sempre espresso da "0"; tutti i rimanenti sette gradi invece possono essere abbassati ("-1") o innalzati ("+1").

A titolo di esempio, seguono cinque moduli di scale ottafoniche ordinate secondo la brillantezza crescente:

[0, -1, -1, 0, 0, -1, 0, -1]
[0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, -1]
[0, +1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, +1, +1, 0, 0, 0, -1, 0]
[0, +1, +1, 0, +1, +1, +1, 0]

L’ultimo modulo corrisponde alla scala più brillante, il primo alla scala più cupa. Nei casi dubbi, ovvero dove non sia immediato stabilire quale di due o più scale confrontate è più brillante, occorre calcolare e sommare tutti gli intervalli – espressi in eka – formati dal primo grado con tutti gli altri gradi; la scala con una somma più alta è la più brillante. A parità di tale somma, tra due o più scale risulta con maggiore brillantezza quella dotata di intervalli più ampi tra il primo grado e gli altri gradi. Per esempio, dati i due moduli:

[0, +1, 0, 0, 0, 0, 0, 0] e [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, +1]

risulta relativo a una scala più brillante il secondo modulo, poiché è indicativo dell’intervallo 1 – 9 assente nella scala correlata al primo modulo.

Gli intervalli in Armodue si distinguono per il loro grado di fusione-consonanza e di tensione-dissonanza. I sedici tipi di intervalli di Armodue (gli intervalli da uno a sedici eka) sono ricercati nella serie delle armoniche; precisamente le armoniche di numerazione da uno a sedici, in modo coerente con il sistema esadecafonico (nel sistema a dodici note, parallelamente, si considerano le armoniche da uno a dodici). Vengono considerati equivalenti, in Armodue e nella serie delle armoniche, gli intervalli caratterizzati dallo stesso numero di cents – quindi con la stessa ampiezza – con un margine di approssimazione tollerato di +/- 37 cents.

Quanto più un rapporto intervallare (rapporto tra due armoniche) è vicino alla base acustica o prima armonica (1^) tanto più elevata è la sua fusione, forza armonica e consonanza; viceversa quanto più un rapporto intervallare è complesso e lontano dalla base acustica, tanto più alta è la sua tensione e dissonanza e tanto più è armonicamente debole. Viene qui illustrato il prospetto dei sedici tipi di intervalli di Armodue ordinati per tensione crescente (dal più consonante al più dissonante) in funzione dei rapporti ottenibili con le prime sedici armoniche:

INTERVALLO AMPIEZZA RAPPORTO AMPIEZZA differenza

n° di eka intervalli esadecafonici armoniche n° intervalli naturali (in cents)

16 eka 1200 cents 2^ : 1^ 1200 cents 0
12 eka 900 cents 5^ : 3^ 884,4 cents -15,6
5 eka 375 cents 5^ : 4^ 386,3 cents +11,3
13 eka 975 cents 7^ : 4^ 968,8 cents -6,2

8 eka 600 cents 7^ : 5^ 582,5 cents -17,5
11 eka 825 cents 8^ : 5^ 813,7 cents -11,3
14 eka 1050 cents 11^ : 6^ 1049,4 cents -0,6
3 eka 225 cents 8^ : 7^ 231,2 cents +6,2

15 eka 1125 cents 15^ : 8^ 1088,3 cents -36,7
10 eka 750 cents 14^ : 9^ 764,9 cents +14,9
6 eka 450 cents 13^ : 10^ 454,2 cents +4,2
2 eka 150 cents 12^ : 11^ 150,6 cents +0,6

4 eka 300 cents 13^ : 11^ 289,2 cents -10,8
7 eka 525 cents 15^ : 11^ 537 cents +12
9 eka 675 cents 16^ : 11^ 648,7 cents -26,3
1 eka 75 cents 16^ : 15 ^ 111,7 cents +36,7

Si osservi che considerando come note inferiori degli intervalli le sole prime otto armoniche si riscontrano otto tipi di intervalli di Armodue - gli otto intervalli forti - mentre i rimanenti otto intervalli hanno rapporti intervallari ottenuti con armoniche di numerazione più alta (fino alla sedicesima armonica) – gli otto intervalli deboli. Queste due categorie di intervalli poi si suddividono ulteriormente ciascuno in due sotto-categorie: in tal modo si hanno quattro categorie di fusione/tensione degli intervalli di Armodue (ad alta fusione, a fusione media, a media tensione e a massima tensione). Gli intervalli di quindici eka e un eka, i più complessi in assoluto, non hanno equivalenti nelle prime sedici armoniche e vanno indubbiamente classificati come i più deboli di Armodue (quello di un eka è più dissonante di quello di quindici eka a causa della prossimità delle frequenze di due note distanti un eka). E’ inoltre importante tenere presente che due intervalli complementari (l’uno il rivolto dell’altro) hanno sostanzialmente la stessa sonorità:

1 eka – 15 eka
2 eka – 14 eka
3 eka – 13 eka
4 eka – 12 eka
5 eka – 11 eka
6 eka – 10 eka
7 eka – 9 eka

Va poi rilevato un dato non trascurabile: eccettuato il caso dell’intervallo di un eka e del suo rivolto (quindici eka), le armoniche da uno a sedici formano rapporti intervallari prossimi agli intervalli di Armodue con un margine di approssimazione che non supera i 37 cents. Per contro, le armoniche da uno a dodici formano rapporti intervallari che risultano equiparabili agli intervalli del sistema temperato (a dodici note) soltanto se si accetta un margine di approssimazione superiore a 37 cents (tale margine è di 51 cents). I criteri per generare scale ed accordi in funzione delle categorie di tensione sono gli stessi criteri adottati nel sistema dodecatonico.

Una scala può risultare sommando le note che compongono due o più accordi, o sommando le note che si possono estrapolare dalla trasposizione o da più trasposizioni di uno stesso accordo.

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