Armodue: elementi di base di armonia (Luca Attanasio)
Capitolo
1: Due tesi che suffragano il sistema
La supremazia
della quinta e settima armonica in Armodue
Il sistema a dodici note che impera tuttora da diversi secoli è
fondato sulla terza armonica della serie, che forma una dodicesima
perfetta (l'intervallo composto riconducibile ad una quinta perfetta) con
la prima armonica o fondamentale.
Anche la successione di Pitagora - il ciclo delle quinte - è basata
sull'intervallo di quinta giusta quindi sullo stesso rapporto di frequenza
3:2. Ma, se nel sistema a dodici note l'intonazione della terza armonica
quindi gli intervalli di quarta e quinta giusta risultano quasi
perfettamente rispettati (la quinta e quarta giusta temperate differiscono
solo della cinquantesima parte di un semitono dalla quinta e quarta
naturali), non altrettanto si può dire a riguardo delle armoniche dispari
(le armoniche pari non contano poiché sono semplici duplicati in ottava
delle armoniche dispari) immediatamente superiori alla terza: la quinta e
la settima armonica.
Nel sistema temperato la quinta e la settima armonica si riscontrano negli
intervalli di terza maggiore e settima minore formati con la fondamentale
(equiparando per semplicità intervalli semplici e composti); ma
l'ampiezza della terza maggiore e della settima minore temperate non
corrisponde agli analoghi intervalli naturali.
In Armodue invece gli intervalli corrispondenti a quelli formati dalla
quinta e settima armonica sono resi con una maggiore fedeltà di
intonazione. In tal senso Armodue amplia la consapevolezza delle armoniche
superiori, in particolare restituisce alla massima naturalezza
l'intonazione della settima armonica.
Per questa ragione in Armodue sono particolarmente importanti l'intervallo
di cinque eka (il corrispondente del rapporto intervallare dato dalla
quinta armonica) e l'intervallo di 13 eka (il corrispondente del rapporto
intervallare sussistente con la settima armonica). Il ciclo delle quinte
alla base del sistema dodecatonico in Armodue viene sostituito dal ciclo
di cinque eka e dal ciclo di tredici eka, in ragione della priorità delle
armoniche quinta e settima.
La triplice media del doppio rapporto diagonale/lato del quadrato
Dal punto di vista filosofico, il sistema a dodici note è stato
giustificato in passato mediante questa proprietà matematica: la media
aritmetica e la media armonica del rapporto di ottava (rapporto di
frequenza 2:1) corrispondono alla quinta giusta (rapporto 3:2) ed alla
quarta giusta (rapporto 4:3), mentre la media geometrica divide
esattamente l'ottava in due intervalli di tritono (rapporto: radice
quadrata di 2).
Analogamente, si può dimostrare il fondamento filosofico di Armodue e
della esadecafonia calcolando le tre medie del rapporto di frequenza
geometricamente equivalente al rapporto tra il doppio della diagonale
(radice quadrata di 2 moltiplicata per 2) ed il lato (di misura: 1) di un
quadrato.
La media aritmetica risulta esattamente uguale all'intervallo di nove eka,
la media geometrica esattamente uguale a dodici eka ed infine la media
armonica esattamente uguale a quindici eka.
Capitolo
2: La tavolozza degli intervalli
Le categorie
qualitative degli intervalli
Armodue consta di sedici tipi di intervalli, che si possono raggruppare a
due a due (secondo gli intervalli complementari, ovvero intervalli che
siano l'uno il rivolto dell'altro e che sommati diano la decima
(intervallo-somma di 16 eka) in otto categorie che saranno analizzate
singolarmente:
1 eka - 15 eka
2 eka - 14 eka
3 eka - 13 eka
4 eka - 12 eka
5 eka - 11 eka
6 eka - 10 eka
7 eka - 9 eka
8 eka
Gli intervalli di un eka e di quindici eka
L'intervallo di un eka, il grado della scala cromatica di Armodue uguale a
3/4 di un semitono (75 cents), è il più piccolo intervallo del sistema
ed è molto vicino al semitono cromatico postulato da Zarlino nell'ambito
della sua scala naturale (basata sui rapporti semplici) e quantificabile
in 70 cents.
Questa proprietà dell'eka lo rende particolarmente eufonico e familiare
all'orecchio: l'eka è percepito dall'orecchio come intervallo naturale
non meno del semitono della scala dodecatonica. In una libera
improvvisazione melodica, successioni cromatiche di eka consecutivi
suonano in modo molto simile a successioni cromatiche di semitoni.
Pertanto tutte le tecniche armoniche inerenti il cromatismo possono essere
applicate in Armodue considerando l'eka l'equivalente del semitono
temperato. Il rivolto di un eka è l'intervallo di 15 eka, paragonabile ad
una settima maggiore del sistema dodecatonico leggermente ampliata.
La piccola ampiezza dell'eka lo rende anche idoneo ad evocare sonorità ed
atmosfere orientali. I piccoli intervalli di 1 eka, 2 eka e 3 eka di
Armodue si prestano magnificamente al disegno di melodie e scale dal
sapore squisitamente modale ed arabeggiante.
In Armodue gli intervalli di 1 eka e 15 eka vanno considerati dissonanze
aspre e come tali richiedono di essere utilizzati con cautela negli
accordi. Per essi comunque possono valere tutte le regole che già
governano il trattamento delle dissonanze aspre nel sistema dodecatonico.
Gli intervalli di due eka e di quattordici eka
L'intervallo di 2 eka corrisponde a 3/2 di un semitono temperato (si
quantifica in 150 cents) e si riscontra esattamente tra l'undicesima e la
dodicesima armonica della serie. E' l'intervallo che si ottiene dividendo
la decima di Armodue (l'ottava temperata) in otto parti esatte, a formare
la scala ottafonica equalizzata.
Essendo dato da armoniche di numerazione superiore suona particolarmente
innaturale all'orecchio.
Ciò lo rende adatto a geometriche costruzioni dove prevalgano la
simmetria e l'artificiosità, per esempio nelle strutture sonore frattali.
Nel sistema dodecatonico l'ottava (1200 cents) si ripartisce in una quarta
eccedente ed una quinta diminuita (600 cents), il tritono così ottenuto
si può dimezzare in due terze minori (300 cents), ma la terza minore non
si può ulteriormente suddividere in due parti. E' qui che, dove terminano
le possibilità del sistema dodecatonico, iniziano le possibilità di
Armodue e si prosegue nelle suddivisioni progressive: la terza minore si
ridefinisce l'intervallo di quattro eka (300 cents) che si dimezza in due
eka più due eka (150 cents); a loro volta due eka si dimezzano in due
intervalli di un eka ciascuno (75 cents). Queste proprietà
algebrico/geometriche dell'intervallo di due eka inizialmente considerato
lo rendono particolarmente adatto alle costruzioni armoniche simmetriche
quindi alla armonia speculare.
In pratica, si possono costruire accordi speculari utilizzando
esclusivamente intervalli di 16, 8, 4 oppure 2 eka tra una voce e la voce
adiacente. Una o più delle note così ottenute possono in un secondo
tempo essere alterate di un eka ascendente o discendente; in tal modo una
costruzione armonica dapprima rigidamente squadrata acquisterà una nuova
colorazione armonica particolarmente significativa nel contesto.
La scala ottafonica equalizzata ottenuta procedendo a passo di intervalli
consecutivi di due eka ha una sonorità assolutamente peculiare: per la
sua assenza di gravitazioni si potrebbe confrontare con la scala esatonale
tanto impiegata da Debussy, ma l'intervallo di due eka viene avvertito
dall'orecchio occidentale come più prossimo al semitono che al tono
temperato. Il risultato finale si potrebbe descrivere come una scala a metà
tra la scala cromatica ed esatonale del sistema dodecatonico. Può essere
molto efficace utilizzare la scala ottafonica equalizzata negli accordi ed
altri tipi di scale nella melodia, o viceversa: l'introduzione di sistemi
scalari differenti, dove si impiega prevalentemente la scala ottafonica,
aggiunge varietà alla architettura armonica-melodica. Può essere infine
molto fruttuoso, nella composizione con Armodue, ritenere di avere a
disposizione due tipi di "semitoni": un "semitono
piccolo" (un eka) ed un "semitono grande" (due eka),
accanto al "tono" di Armodue (tre eka). Ciò infatti permette
variazioni e potenzialità del tutto assenti nel sistema dodecatonico,
dove vi è uno - ed uno soltanto - tipo di semitono. Per esempio si
possono sostituire in una composizione tutti gli intervalli di un eka con
intervalli di due eka e viceversa, variando il tipo di "semitono
piccolo o grande" percepito. Una melodia potrebbe oscillare variando
continuamente negli intervalli di uno e due eka, secondo il principio
della microvariazione o secondo tecniche di minimalismo musicale
(ripetizioni ostinate con piccole variazioni introdotte). Un dato molto
interessante che deve tenere presente un compositore è l'ambivalenza
dell'intervallo di 2 eka: questo intervallo sta esattamente a metà strada
tra il tono ed il semitono temperato.
Tale mediazione tra tono e semitono che si realizza in Armodue può essere
molto sfruttata nella tecnica compositiva; il principio potrà essere
quello di sfumare i contorni del "tono" (3 eka) e del
"semitono" (1 eka) sostituendoli entrambi con il neutro ed
ambiguo intervallo di 2 eka. Oppure, per reversibilità del discorso, si
possono enunciare inizialmente agglomerati sonori in cui vi siano gli
intervalli di 2 eka, in seguito sostituiti - "colorando" le
armonie e le melodie - con intervalli di 1 eka e di 3 eka (a discrezione
del compositore).
L'intervallo di due eka ed il suo rivolto di quattordici eka sono definiti
le dissonanze neutre di Armodue.
Gli intervalli di tre eka e di tredici eka
L'intervallo di 3 eka corrisponde al "tono" di Armodue (è
leggermente più ampio del tono temperato). Questo intervallo è
particolarmente gradevole all'orecchio perché è molto vicino al tono
naturale che si forma con la settima e l'ottava armonica (il tono
temperato, al confronto, suona meno naturale all'orecchio perché si forma
con le armoniche appena più alte: la nona e la decima).
Se si costruiscono scale utilizzando successioni di "toni" di
Armodue, ovvero procedendo per salti di 3 eka, si ottengono sonorità
particolarmente suggestive - di vago sapore pentatonico.
Il rivolto dell'intervallo di 3 eka è l'intervallo di 13 eka, che ha una
enorme importanza in Armodue poiché corrisponde alla settima minore
naturale - l'intervallo dato dalla quarta armonica in rapporto con la
settima armonica. Chi ha approfondito le tematiche armoniche è
consapevole di quanto un accordo di settima di dominante (esempio: do mi
sol si b) eseguito con la scala temperata sia divergente dall'accordo
naturale corrispondente che si ottiene per sovrapposizione delle armoniche
quarta, quinta, sesta e settima.
Ciò è dovuto soprattutto alla non trascurabile disparità di intonazione
della settima minore temperata e della settima armonica (nell'esempio in
questione il si b). In Armodue, la settima minore viene restituita alla
sua intonazione naturale; l'intervallo di 13 eka viene percepito come
molto naturale ed eufonico.
Dal punto di vista filosofico, con i due intervalli in discorso Armodue
realizza la quadratura del cerchio; colloca all'interno di una struttura
"quadrata" rigidamente geometrica (la divisione in sedici note)
due intervalli "rotondi", vaghi ed esotici come il tono naturale
e la settima minore naturale (nell'ordine 3 e 13 eka). Quest'ultima
considerazione può dimostrarsi uno spunto molto interessante per un
compositore.
Gli intervalli di 3 eka e di 13 eka sono in Armodue tra i più suggestivi
e vanno classificati come dissonanze dolci, alla stregua della seconda
maggiore e settima minore temperate.
Gli intervalli di quattro eka e di dodici eka
Con i due intervalli di 4 e 12 eka siamo in presenza di due intervalli
molto conosciuti e familiari all'orecchio traslati in Armodue. Difatti 4
eka e 12 eka corrispondono esattamente - nell'ordine - ad una terza minore
ed una sesta maggiore del sistema dodecatonico. Evidente quindi la
possibilità di evocare triadi maggiori e minori con Armodue (la triade
minore viene ricreata in ambiente Armodue sovrapponendo su una
fondamentale 4 eka e 5 eka; la triade maggiore sovrapponendo 5 eka e 4 eka).
La perfetta equivalenza dei due intervalli considerati nel sistema
dodecatonico e in Armodue costituisce un punto cruciale riguardo
l'inevitabile interazione che l'orecchio di un ascoltatore occidentale
stabilirà tra le due diverse accordature.
Ascoltando infatti gli intervalli di 4 e 12 eka l'orecchio assocerà
immediatamente questi intervalli di Armodue ai due intervalli già
familiari (terza minore e sesta maggiore). Per questo motivo molti degli
altri intervalli presenti - in ambiente Armodue - contestuali a quelli di
4 e 12 eka saranno probabilmente avvertiti dall'orecchio come anomali e
sconosciuti.
I compositori presteranno molta attenzione ogni volta che utilizzeranno i
due intervalli esaminati, cercando di prevedere le reazioni di un orecchio
assuefatto al sistema dodecatonico.
In un caso particolare ed interessante, un compositore potrebbe anche
decidere di non utilizzare gli intervalli che danno colore alle armonie -
le terze e seste maggiori e minori traslate in Armodue: gli intervalli di
4, 5, 11 e 12 eka.
Escludendo questi quattro tipi di intervalli dalla tessitura degli accordi
l'orecchio probabilmente si renderà conto subito di trovarsi in un
ambiente sonoro nuovo e sconosciuto.
Del resto, l'esclusione delle terze e seste maggiori e minori nel sistema
dodecatonico è già stata sperimentata con successo da alcuni
compositori; dal punto di vista estetico la mancanza di colore ed il
carattere aperto della sonorità che si avvertono risultano
particolarmente significative ed espressive. Un altro intervallo di
Armodue perfettamente equivalente ad un intervallo del sistema
dodecatonico è quello di 8 eka, che vede la sua ampiezza essere uguale a
quella del tritono.
Tuttavia il carattere inquieto di tale intervallo lo rende unico nel suo
genere e non assimilabile agli intervalli appena trattati.
Gli intervalli di 4 e 12 eka appartengono senza dubbio - essendo di
ampiezza equivalente - alla stessa categoria della quale fanno parte la
terza minore e sesta maggiore: quella delle consonanze dolci.
Gli intervalli di cinque eka e di undici eka
L'intervallo di 5 eka è molto prossimo alla terza maggiore naturale che
si configura come il rapporto tra la quarta e la quinta armonica della
serie.
La terza maggiore del sistema dodecatonico non è così vicina
all'intonazione della terza maggiore naturale quanto lo è l'intervallo di
5 eka. Il rivolto di 5 eka è l'intervallo di 11 eka, molto vicino alla
sesta minore naturale che si riscontra con la quinta ed ottava armonica.
Essendo gli intervalli di 5 e di 11 eka assimilabili alle terze e seste
temperate, per essi valgono le stesse considerazioni fatte nel paragrafo
precedente riguardo i due intervalli di 4 e di 12 eka. Anch'essi si
classificano come consonanze dolci.
Gli intervalli di sei eka e di dieci eka
L'intervallo di 6 eka è particolarmente suggestivo, insieme al suo
rivolto di 10 eka. Un'ampiezza di 6 eka si colloca infatti esattamente nel
punto di equidistanza tra la terza maggiore e la quarta giusta del sistema
temperato, mentre 12 eka sono la media tra una quinta giusta ed una sesta
minore.
Tale proprietà costituisce il dato più interessante degli intervalli
esaminati. L'intervallo di 6 eka unisce al pregnante colore della terza
maggiore la propulsione e il dinamismo della quarta giusta; l'intervallo
di 10 eka combina il carattere crepuscolare della sesta minore con la
staticità e l'equilibrio della quinta giusta.
Nel sistema temperato le terze e le seste danno colore agli accordi,
mentre le fondamentali degli stessi accordi si concatenano con salti di
quarta e di quinta giusta. In Armodue l'ambiguità degli intervalli
"neutri", che mediano tra terza e quarta così come tra quinta e
sesta, li rende idonei ad essere utilizzati sia nell'architettura degli
accordi che nella concatenazione delle fondamentali.
Al pari degli intervalli di 2 eka e 14 eka (i quali pure sono
"neutri": il primo a metà tra seconda minore e maggiore ed il
secondo equidistante dalla settima minore e maggiore), gli intervalli di 6
e di 10 eka risultano poco familiari all'orecchio occidentale (escluso
quello avvezzo ai quarti di tono).
Gli intervalli di 6 eka e 10 eka vanno classificati consonanze neutre.
Gli intervalli di sette eka e di nove eka
I corrispondenti degli intervalli di quarta e quinta giusta in Armodue
sono rispettivamente gli intervalli di 7 e di 9 eka; il primo si
quantifica in una quarta giusta leggermente ampliata, il secondo in una
quinta giusta leggermente raccorciata.
Tali intervalli di Armodue sono però solo incompatibili con la concezione
legata al ciclo delle quinte che sta alla base del sistema dodecatonico.
In particolare con gli intervalli di 7 e 9 eka, Armodue si dimostra un
sistema completamente nuovo e diverso rispetto all'imperante sistema
dodecatonico.
Le "quarte" e le "quinte" di Armodue sono eufoniche e
assolutamente consonanti, ma in una gamma di altezze radicalmente
differente da quelle del sistema dodecatonico. Si suggerisce di utilizzare
con ponderazione gli intervalli di 7 e 9 eka, proprio per mettere in luce
il significato peculiare che le "quarte" e le "quinte"
acquistano in Armodue e per non trarre in inganno l'orecchio occidentale
profondamente assuefatto al ciclo delle quinte.
Riguardo la classificazione, 7 e 9 eka vanno annoverati tra le consonanze
aperte.
L'intervallo di otto eka
L'intervallo di 8 eka ripartisce a metà la decima di Armodue proprio come
il tritono dimezza l'ottava temperata. Difatti 8 eka corrispondono
esattamente a tre toni quindi ad una quarta eccedente o quinta
diminuita.
Essendo la metà esatta di 16 eka, l'intervallo di 8 eka è rivolto di se
stesso; questa caratteristica lo rende particolarmente inquieto ed
instabile - proprio come il tritono tra i dodici intervalli del sistema
temperato.
Quando in un accordo è presente l'intervallo di 8 eka, l'intero accordo
diviene instabile; al contrario anche l'accordo più dissonante risulta
statico e stabilizzato in assenza di tale intervallo.
L'intervallo di 8 eka è il primo asse di simmetria in Armodue: difatti in
questo sistema si procede con dimezzamenti progressivi della decima: 16
eka, 8 eka, 4 eka, 2 eka ed 1 eka. Come il tritono del sistema temperato,
l'intervallo di 8 eka è una dissonanza instabile.
Gradualizzazione delle tensioni armoniche
Quando si fa seguire un accordo ad un altro accordo, bisogna valutare con
attenzione le qualità di consonanza/dissonanza di ogni intervallo
componente - oltre a curare la fluidità del movimento delle voci.
Se si devono mettere in sequenza accordi diversi, è consigliabile farli
susseguire in modo che vi sia una gradualità nella distribuzione delle
tensioni intervallari.
L'ordine da seguire (leggibile anche procedendo all'inverso) sarà il
seguente:
consonanze aperte - consonanze neutre - consonanze dolci - dissonanze
dolci - dissonanze neutre - dissonanze aspre - dissonanza instabile.
Se ad esempio si devono porre in successione un accordo "A" a
prevalenza di dissonanze dolci, un accordo "B" dove prevalgono
le consonanze aperte ed uno "C" a prevalenza di consonanze
neutre, si potranno susseguire B - C - A (ordine di tensione crescente)
oppure A - C - B (ordine di tensione decrescente).
Disposizione degli accordi
Gli accordi si possono disporre in qualunque modo, collocando le note che
li costituiscono in modo più o meno distribuito (disposizione stretta o
lata), su un registro più acuto o più basso (maggiore o minore
limpidezza), in forma piramidale o piramidale capovolta (maggiore o minore
forza armonica) o in altra forma, con raddoppi, ripetizioni ed omissioni
di una o più parti (enfasi sulla qualità degli intervalli coinvolti
dalle note raddoppiate o triplicate).
Gli intervalli composti, negli accordi con note più largamente
distribuite, risultano più limpidi e risonanti dei corrispettivi
intervalli semplici se si tratta di consonanze dolci o neutre, più
potenti se si tratta di consonanze aperte; mentre gli intervalli di qualità
dissonante quando passano ad intervalli composti perdono molto del loro
carattere tagliente ed acquistano in brillantezza.
Quando in un accordo gli intervalli tra note adiacenti decrescono dal
basso verso la nota in posizione melodica, si ha la disposizione
piramidale che aumenta la qualità limpida e risonante dell'accordo (poiché
tale disposizione è associata dall'orecchio alla serie delle armoniche);
il contrario accade sovrapponendo al basso intervalli di ampiezza via via
crescente (disposizione piramidale capovolta).
Se in un accordo si vuole enfatizzare la qualità dissonante, basterà
raddoppiare o triplicare le note che formano gli intervalli dissonanti e
analogamente si procederà con le note che formano consonanze per
incrementare la consonanza dell'accordo.
Capitolo
3: Generare scale con Armodue: sistemi modali
Sistemi
modali basati sui tetracordi e sui pentacordi
Molti sono i sistemi con i quali generare scale diverse in Armodue. I più
importanti però sono basati sulla formazione di tetracordi o pentacordi e
sulla loro successiva unione. Per analogia con i tetracordi (modi) del
sistema intervallare che si sviluppò già nell'antica musica greca, la
decima di Armodue (l'ottava temperata) viene divisa in due intervalli di
sette eka ciascuno (sette eka hanno un'ampiezza prossima a cinque semitoni
ovvero ad una quarta perfetta del sistema temperato): un intervallo
inferiore di sette eka ed un intervallo superiore di altrettanti sette eka.
I due intervalli così costituiti delimiteranno i tetracordi o pentacordi
che si costituiranno al loro interno e saranno disgiunti tra loro da un
intervallo centrale di due eka - a totalizzare sedici eka ovvero l'intero
ambito della decima di Armodue.
Ecco lo schema della ripartizione della decima 1-1:
1, 1#, 2, 2#, 3, 3#, 4, 5 - 5# - 6, 6#, 7, 7#, 8, 8#, 9, 1
Il primo intervallo di sette eka, quello inferiore, abbraccia l'ambito
delle note comprese tra 1 e 5; il secondo intervallo di sette eka, quello
superiore, comprende invece le note da 6 a 1.
Tra i due intervalli vi è una disgiunzione di due eka (note da 5 a 6).
Stabiliti come cardini o strutture fisse i due intervalli delimitanti, si
procede a "trovare note" all'interno dei due intervalli. In
pratica si tratta di ripartire in vario modo le due distanze scalari delle
note 1-5 e 6-1. Sette eka si possono ad esempio ripartire in 3 + 3 +1 eka
ottenendo il tetracordo inferiore 1, 2#, 4, 5 e/o il tetracordo superiore
6, 7#, 9, 1.
Oppure sette eka si possono organizzare in un pentacordo la cui formula
(modulo intervallare) sia 2 + 2 + 2 + 1 eka. In quest'ultimo caso si avrà
il pentacordo inferiore 1, 2, 3, 4, 5 e/o il pentacordo superiore 6, 7, 8,
9, 1. Non necessariamente si dovranno ripartire allo stesso modo i due
intervalli inferiore e superiore; ogni tetracordo/pentacordo inferiore può
combinarsi con qualsiasi altro tetracordo/pentacordo superiore, a generare
un elevato numero di scale eptafoniche (tipo tetracordo/tetracordo),
ottafoniche (tipo tetracordo/pentacordo) o enneafoniche (tipo
pentacordo/pentacordo).
Ecco il prospetto di tutte le formule di tetracordi/pentacordi possibili
(sono escluse le formule che presentano successioni consecutive di un eka,
per l'eccessiva qualità cromatica) nell'ambito di sette eka complessivi:
TETRACORDI
Moduli intervallari tetracordali a composizione: 1 + 2 + 4 eka
1, 2, 4
1, 4, 2
2, 1, 4
2, 4, 1
4, 1, 2
4, 2, 1
Moduli intervallari tetracordali a composizione: 1+ 3 + 3 eka
1, 3, 3
3, 1, 3
3, 3, 1
Moduli intervallari tetracordali a composizione: 2 + 2 + 3 eka
2, 2, 3
2, 3, 2
3, 2, 2
Modulo intervallare tetracordale a composizione: 1 + 1 + 5 eka
1, 5, 1
PENTACORDI
Moduli intervallari pentacordali a composizione: 1 + 2 + 2 + 2 eka
1, 2, 2, 2
2, 1, 2, 2
2, 2, 1, 2
2, 2, 2, 1
Moduli intervallari pentacordali a composizione: 1 + 1 + 2 + 3 eka
1, 2, 1, 3
1, 3, 1, 2
2, 1, 3, 1
3, 1, 2, 1
1, 2, 3, 1
1, 3, 2, 1
Globalmente, vi sono tredici tipi di tetracordi e dieci tipi di pentacordi
a disposizione per creare scale; le scale diverse realizzabili sono dunque
23 (23 = 13 + 10) elevato al quadrato, cioè qualcosa come 529 scale
diverse (restando nell'unico ambito delle scale che si organizzano in due
intervalli delimitanti di sette eka disgiunti tra loro da due eka).
Ognuna di tali scale è trasportabile in qualunque tonalità (le
possibilità sono: 8464 scale - prodotto di 529 tipi di scale x 16 toniche
possibili).
Se a titolo di esempio combiniamo il tetracordo con formula 2, 2, 3 con il
pentacordo con formula 2,1,3,1 otteniamo la scala di otto note (ottafonica)
formate dalle note seguenti (la scala dell'esempio è costruita sempre a
partire dalla nota 1 per maggior semplicità):
1, 2, 3, 5 - 6, 7, 7#, 9, 1
Per costruire scale con piena consapevolezza, occorre familiarizzare con i
23 tipi di tetracordi e pentacordi elencati e studiarne a fondo sonorità
e qualità. Solo quando si è pienamente padroni delle strutture alla base
delle scale - i tetracordi e pentacordi appunto - si può procedere alla
loro combinazione reciproca nella formazione delle scale.
Sistemi modali basati sugli esacordi
I tetracordi e i pentacordi appena trattati sono imperniati sul
caratteristico intervallo di sette eka, l'equivalente in ambiente Armodue
della diatessaron nell'antico sistema modale greco (la quarta giusta,
ampia cinque semitoni temperati).
In Armodue vi è però un altro intervallo molto significativo che merita
di funzionare come intervallo cardine: quello di tredici eka - la cui
ampiezza è molto prossima alla settima minore naturale (il rapporto di
frequenza tra la settima e la quarta armonica della serie).
Assumendo come intervallo delimitante l'intervallo di 13 eka (ambito che
comprende le note 1-8 della decima standard 1- 1) si distinguono per
importanza le seguenti ripartizioni con esacordi (molte altre diverse
ripartizioni naturalmente sono possibili):
Moduli intervallari esacordali a composizione: 1 + 3 + 3 + 3 + 3 eka
1, 3, 3, 3, 3
3, 1, 3, 3, 3
3, 3, 1, 3, 3
3, 3, 3, 1, 3
3, 3, 3, 3, 1
Ad esempio assumendo la formula 3, 1, 3, 3, 3 si ottiene una scala formata
dalle note: 1, 2#, 3, 5, 6#, 8 alla quale si può aggiungere la nota 9 in
qualità di sensibile.
Altri sistemi modali e varie considerazioni sulle scale in Armodue
Le possibilità di combinazione di tricordi tetracordi, pentacordi,
esacordi ed eptacordi assommano ad un numero elevatissimo: almeno in
teoria, diversi tipi di intervallo (di 5, 6, 7, 8, 9, 10 o più eka)
possono funzionare come intervalli cardine all'interno dei quali si
organizzino poi i tricordi, tetracordi ecc. - in seguito liberamente
combinati tra loro a formare le scale.
Elencare tutte le possibilità esula dagli scopi di questa sintetica
trattazione. Almeno in fase iniziale sarà bene tuttavia utilizzare pochi
tipi di scale, magari con frequenti modulazioni tonali (trasportando le
limitate scale prescelte su diverse toniche).
L'ascoltatore dovrebbe acquisire una certa familiarità con pochi
tetracordi, pentacordi ecc. prescelti piuttosto che essere disorientato da
un continuo mutare delle strutture intervallari.
Una peculiarità di Armodue: le scale simmetriche
"neo-diminuite"
Una sonorità particolare in ambiente Armodue è ottenuta con la scala
simmetrica a composizione 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 eka oppure con la
sua variante 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 eka.
Queste due scale evocano fortemente la sonorità delle scale
"diminuite" del tipo tono-semitono alternati nel sistema
temperato (sfruttatissime nel jazz e nel blues): do - do# - re# - mi - fa#
- sol - la - la# - do (scala simmetrica del tipo semitono-tono) oppure do
- re - mi b - fa - sol b - sol# - la - si - do (scala simmetrica del tipo
tono-semitono).
In Armodue, queste scale sono nominate per la loro speciale qualità scale
"neo-diminuite".
Modi con limitata possibilità di trasposizione
"Modi con limitata possibilità di trasposizione" riprende ed
amplia - applicandolo in Armodue - il sistema modale ideato da Olivier
Messiaen Modes à transpositions limitées.
L'idea fondamentale di Messiaen è quella di suddividere equamente
l'ottava in due, tre, quattro o sei intervalli uguali (in due tritoni, tre
terze maggiori, quattro terze minori o sei toni) e di strutturare in
seguito tali intervalli con un'ulteriore ripartizione interna in gruppi o
moduli (inserendo note con un preciso ordine).
La particolarità è quella di far coincidere l'ultima nota di un modulo
con la prima nota del gruppo successivo.
Ad esempio, ripartita l'ottava do-do nelle tre parti uguali: do - mi; mi -
la b; la b - do Messian struttura il suo terzo modo stabilendo il modulo:
tono - semitono - tono ed ottenendo così la successione di note:
do - re - mi b - mi - fa# - sol - la b - si b - si - do
Le note segnate in corsivo do, mi, la b delimitano le tre parti che
compongono l'ottava e costituiscono nello stesso tempo la prima e l'ultima
nota di ogni modulo tipo tono - semitono - semitono.
In Armodue la decima di sedici eka si può dividere in due, quattro oppure
otto parti.
Ma a prescindere da queste suddivisioni della decima il sistema modale di
Messiaen può essere esteso a tutti gli intervalli con ampiezza compresa
tra tre e otto eka.
Se per esempio si assume come intervallo delimitante l'intervallo di sei
eka (due toni più un quarto di tono nel sistema temperato) si avrà la
sequenza seguente di note (ciclo di sei eka riportati in otto termini):
1, 4, 7#, 2, 5#, 8#, 3, 6#, 1
Come si può constatare, nell'arco di tre decime (equivalenti a tre ottave
temperate) il cerchio si chiude e dalla nota di partenza 1 si giunge
nuovamente alla nota 1 posta tre decime sopra, mediante riporti successivi
di sei eka.
In termini strettamente matematici, il minimo comune multiplo di 16 eka
(l'ampiezza della decima) e 6 eka (l'intervallo riportato) è 48 eka
(corrispondente all'ampiezza di tre decime: 16 x 3).
Ogni intervallo di sei eka - riportato in totale otto volte nell'arco di
tre decime - si può organizzare in vario modo al suo interno; per esempio
in moduli del tipo: 3 + 2 + 1 eka, nel qual caso si ottiene il sistema
scalare di 24 note seguente:
1, 2#, 3#, 4; (4), 6, 7, 7#; (7#), 9, 1#, 2; (2), 3#, 5, 5#; (5#), 7, 8,
8#; (8#), 1#, 2#, 3; (3), 5, 6, 6#; (6#), 8, 9, 1.
[Nota: le note tra parentesi - ripetute - vogliono evidenziare come la
prima e l'ultima nota di ogni gruppo coincidano]
Tutte le sedici note compaiono almeno una volta all'interno della scala
illustrata.
E' essenziale quindi ricordare l'ambito di appartenenza delle note
rispetto alle tre decime. Ipotizzando - per semplicità - di suonare in un
registro di non più di tre decime, si avranno a disposizione otto note
per ogni decima per creare la tessitura degli accordi e della melodia o
dei controcanti. Precisamente, le note:
1, 2#, 3#, 4, 6, 7, 7#, 9 nella prima decima, più bassa
1#, 2, 3#, 5, 5#, 7, 8, 8# nella seconda decima, centrale
1#, 2#, 3, 5, 6, 6#, 8, 9 nella terza decima, più acuta
Si noti che se si riportano gli intervalli delimitanti originari di sei
eka a partire dalla nota 1# invece che dalla nota 1, si ottengono le otto
note cardine che mancano nella sequenza che parte dalla nota 1:
1#, 5, 8, 2#, 6, 9, 3#, 7, 1#
Alle note così trovate può essere applicata la stessa ripartizione
secondo il modulo 3 + 2 + 1 eka ottenendo la stessa scala di 24 note
appena vista, innalzata però di un eka.
Capitolo
4: Costruzioni armoniche "geometriche" con Armodue
Il compositore Sckriabin ha basato gran parte delle sue
composizioni sugli accordi nucleopolari.
Per comprendere la natura di tali accordi bisogna fare riferimento alle
riflessioni speculari della luce in un cristallo, secondo una
ordinatissima simmetria centrale.
Un'immagine che viene in mente al riguardo è la "stella" ad
otto raggi che talvolta appare localizzata in una zona di una fotografia
quando l'obbiettivo della macchina fotografia è colpito da una sorgente
luminosa piuttosto intensa. L'idea di Sckriabin è quella di rendere
attraverso i suoni tale fenomeno ottico.
Da qui la costituzione di una nota - centro (sorgente luminosa centrale)
dalla quale si dipartano intervalli - raggi superiori e note relative più
alte e, per legge di simmetria o specularità, intervalli - raggi riflessi
inferiori con uguale ampiezza ma con direzione rovesciata e con le
relative note più basse rispetto alla nota centrale.
La nota centrale viene così più propriamente denominata nota
nucleopolare, vero e proprio specchio in cui gli intervalli inferiori e le
note basse si riflettono negli intervalli superiore e nelle note alte.
L'accordo risultante - costituito in perfetta simmetria centrale o
nucleopolarità - costituisce l'impianto sonoro fondamentale al quale fare
riferimento nella tessitura delle melodie e nell'architettura degli
accordi.
Il principio della modulazione, in questo ambito, va inteso come la minima
e graduale variazione dell'ampiezza di uno o più degli intervalli che
sono imperniati sulla nota nucleopolare dell'accordo, o - più
drasticamente - va interpretata come una radicale e brusca trasformazione
degli stessi intervalli.
In Armodue l'armonia nucleopolare può trovare un'applicazione più vasta
e più perfetta rispetto al sistema di dodici note. Difatti, una scala di
sedici note sembra già contenere implicitamente il principio della
simmetria centrale (sedici è un quadrato perfetto di un quadrato perfetto
(4) e corrisponde all'archetipo del mandala così come concepito nella
quasi totalità delle culture e tradizioni del mondo: una ruota a otto o
sedici raggi).
Si costituisca per esempio come nota nucleopolare (il centro dell'impianto
sonoro) la nota 5. La nota 5 funzionerà come specchio in cui si
rifletteranno intervalli e note superiori ed inferiori.
Se eleggiamo i tre intervalli di sei eka, otto eka e tredici eka si
genererà la struttura sonora (le note lette da sinistra a destra
procedono ordinatamente dal grave all'acuto):
7 - 9 - 1# - 5 - 8 - 9 - 3
Come si può verificare, dalla nota 5 nucleopolare o centrale si dipartono
i due intervalli riflessi di sei eka (delimitati dalle note 1# - 5 e 5 -
8), i due intervalli di otto eka (delimitati dalle note 9 - 5 e 5 - 9) ed
i due intervalli di tredici eka (delimitati dalle note 7 - 5 e 5 -
3).
Si sono così ottenute tre note più basse della nota 5 nucleopolare (le
note 7, 9 e 1#) e tre note più acute della stessa nota 5 (le note 8, 9 ,
3).
La struttura sonora così ottenuta può essere utilizzata così com'è
nella costruzione di melodie e accordi, oppure può essere suscettibile di
subire microvariazioni e di essere modulata.
Ad esempio si può semplicemente apportare una leggera variazione - quindi
una asimmetria - che destabilizzi momentaneamente ma in modo molto
significativo la rigida "cristallinità" sonora alterando la
nota 1# per innalzamento di un eka (sostituzione con la nota 2):
7 - 9 - 2 - 5 - 8 - 9 - 3
In seguito, si potrà ripristinare il perfetto equilibrio e simmetria
della struttura sonora alterando in senso uguale e contrario la nota 8 che
controbilancia la nota 2 (la nota 8 viene quindi abbassata - in modo
diametralmente opposto - di un eka e sostituita con la nota 7#):
7 - 9 - 2 - 5 - 7# - 9 - 3
Il principio di microvariazione esposto può essere naturalmente applicato
anche a più di una nota simultaneamente. In altre circostanze, si può
integrare la struttura originale con aggiunta di nuovi intervalli e note
oppure mutare radicalmente la struttura mediante impiego di diversi
intervalli generatori.
Capitolo
5: Accordi "elastici"
Con accordi "elastici" intendo tutti quegli accordi costruiti in
modo tale che tutte le loro parti siano equidistanti, eccetto quelle
collegate da uno o due intervalli variabili.
Un esempio chiarirà meglio il principio. Se si costruisce un accordo
sovrapponendo - dal basso verso l'alto - sei intervalli ognuno dei quali
ampio sette eka, si ottiene un accordo a parti equidistanti composto dalle
note:
1 - 5 - 8# - 3# - 7# - 2# - 6#
Se ora si stabilisce che un intervallo all'interno dell'accordo non dovrà
essere necessariamente di sette eka ma potrà variare a piacimento, si
ottiene quello che definisco un accordo "elastico": cioè un
accordo in cui tutti gli "anelli" (intervalli) siano rigidi (gli
intervalli tra parti equidistanti) eccetto un "anello" elastico
passibile di essere raccorciato o ampliato.
Se si sceglie nell'accordo esemplificato il secondo intervallo come quello
avente proprietà elastica, l'accordo originale potrà variare e diventare
per esempio:
1 - 5 - 8 - 3 - 7 - 2 - 6
(raccorciando l'intervallo iniziale 5 - 8# a sei eka invece che sette)
oppure
1 - 5 - 1# - 5# - 9 - 4 - 8
(ampliando l'intervallo iniziale 5 - 8# a dieci eka invece che
sette).
Risultano molto efficaci successioni di accordi diversificati con
l'elezione di uno o due intervalli "elastici".